สัจนิรันดร์ ( Tautology ) และ ความขัดแย้ง ( Contradiction )
สัจนิรันดร์ ( Tautology )
คือรูปแบบประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ โดยไม่ขึ้นกับค่าความจริงของตัวแปรของแต่ละประพจน์ย่อยประพจน์ที่มีรูปแบบเป็นสัจนิรันดร์เรียกว่า ประพจน์สัจนิรันดร์ (Tautology Statement)
ความขัดแย้ง ( Contradiction )
คือรูปแบบประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จเสมอ โดยไม่ขึ้นอยู่กับค่าความจริงของตัวแปรของแต่ละประพจน์ย่อยประพจน์ที่มีรูปแบบความขัดแย้งเรียกว่า ประพจน์ความขัดแย้ง (Contradiction Statement)
จากนิยามข้างต้น ค่าความจริงของประพจน์สัจนิรันดร์ และค่าความจริงของประพจน์ความขัดแย้ง ขึ้นอยู่กับโครงสร้างตรรกะของประโยคแต่ไม่ขึ้นอยู่กับความหมายของประโยค
ตัวอย่างประพจน์นี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
ก.(r∨p) →(p→r) ข.(r∨~p) ↔(p→r)
วิธีคิด เขียนตารางแสดงค่าความจริงของ p กับ q ให้ครบทุกกรณีเป็นไปด้ (4 กรณี )
|
P |
r |
r∨p |
p→r |
(r∨p) →(p→r) |
|
T |
T |
T |
T |
T |
|
T |
F |
T |
F |
F |
|
F |
T |
T |
T |
T |
|
F |
F |
F |
T |
T |
|
P |
r |
r∨~P |
p→r |
(r∨~p) ↔(p→r) |
|
T |
T |
T |
T |
T |
|
T |
F |
F |
F |
T |
|
F |
T |
T |
T |
T |
|
F |
F |
T |
T |
T |
การตรวจสอบรูปแบบประพจน์ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ นอกจากจะใช้วิธีเขียนตารางค่าความ
จริงให้ครบทุกกรณีแล้ว โดยทั่วไปนิยมใช้ “วิธีพยายามทำให้เป็นเท็จ” คือถ้าหากรณีที่ทำให้รูปแบบนั้น
เป็นเท็จไม่ได้เลย รูปแบบนั้นก็จะเป็นสัจนิรันดร์ แต่ถ้าทำเป็นเท็จได้แม้เพียงกรณีเดียว รูปแบบนั้น
ย่อมไม่ใช่สัจนิรันดร์ โดยเฉพาะเมื่อมีประพจน์ย่อยมากๆ (เช่น p, q, r, s, ...) การเขียนตารางให้ครบทุกกรณี
จะทำได้ไม่สะดวก ควรใช้วิธีพยายามทำให้เป็นเท็จ
ตัวอย่าง ประพจน์นี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
ก. (r ∨ p)→(p →r) ข. (r ∨ ~ p)↔(p →r)
วิธีคิด ก. ใช้วิธีพยายามทำให้เป็นเท็จ(r ∨ p) (p→ r)
T F
F T T F
ตัวเชื่อมหลักคือ “ถ้า-แล้ว” จะเป็นเท็จได้ แสดงว่าวงเล็บหน้าต้องเป็นจริง และวงเล็บหลังต้องเป็นเท็จเท่านั้น ... วงเล็บหลังเป็นเท็จแสดงว่า p ต้องเป็นจริง และ r ต้องเป็นเท็จ ... นำค่าความจริงของ pและ r ไปใส่ในวงเล็บหน้า ได้ค่าเป็นจริงตามที่ต้องการพอดี ... แสดงว่าตอนนี้เราทำให้ผลเป็นเท็จได้สำเร็จ (คือเป็นเท็จเมื่อ p เป็นจริง, r เป็นเท็จ) ข้อนี้จึงไม่เป็นสัจนิรันดร์ ข. ตัวเชื่อมหลักคือ “ก็ต่อเมื่อ” จะเป็นเท็จได้ 2 แบบ คือ T ↔F กับ F↔ T ... การคิดด้วยวิธีนี้ค่อนข้างยุ่งยาก เราควรเลี่ยงไปใช้วิธีในตัวอย่างถัดไป คือดูความสมมูลระหว่างก่อนหน้าและหลัง
หากตัวเชื่อมหลักเป็น “หรือ”, “ถ้า-แล้ว” สามารถตรวจสอบการเป็นสัจนิรันดร์ได้โดยพยายามทำให้เป็นเท็จ ดังกล่าวไปแล้ว แต่หากตัวเชื่อมหลักเป็น “ก็ต่อเมื่อ” ควรตรวจสอบการเป็นสัจนิรันดร์
ตัวอย่าง จงแสดงว่าประพจน์ในรูปแบบ p v ~q เป็นสัจนิรันดร์ และ p ^ ~q เป็นความขัดแย้ง
วิธีทำ สร้างตารางค่าความจริงของประพจน์ p v ~p และ p ^ ~p
|
p |
~p |
q |
~q |
p v ~p |
p ^ ~p |
|
T |
F |
T |
F |
T |
F |
|
T |
F |
F |
T |
T |
F |
|
F |
T |
T |
F |
T |
F |
|
F |
T |
F |
T |
T |
F |
|
สัจนิรันดร์ |
|
ความขัดแย้ง |
เนื้องจากค่าความจริง p v ~p มีค่าเป็นจริง (T) สำหรับทุกๆ ค่าความจริงของ p ดังนั้น p v ~p จึงเป็นสัจนิรันดร์ ( Tautology )
p ^ ~p มีค่าเป็นเท็จ (F) สำหรับทุกๆ ค่าความจริงของ p ดังนั้น p ^ ~qยจึงเป็นความขัดแย้ง (Contradiction)
Home กลับก่อนหน้านี้ หน้าถัดไป
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
